Question

平面α⊥平面β,且α∩β=l,在α內有一個等腰Rt△ABC，∠C=90°,BC在l上，且BC=a，在β內有一條直線CD與α成45°角，P是CD上異于C的一點.

(1)求PB與AC所成的角；

(2)若二面角PABC等于60°，求P點到直線AB的距離.

Answer 1

解:(1)作PH⊥l于H,∵α⊥β，

∴PH⊥平面α.

∴PB在平面α上的射影為BH.

∵BC⊥AC,依三垂線定理知PB⊥AC，

∴PB與AC所成的角為90°.

(2)由(1)知∠PCH為CD與α所成的角，

∴∠PCH=45°,△PCH為等腰直角三角形.

作HM⊥AB于M點，連結PM，

由三垂線定理知PM⊥AB,故PM是P點到直線AB的距離，

∠PMH為二面角P-AB-C的平面角.

∴∠PMH=60°.

設PM=x,則在Rt△PHM中，

HM=x,PH=x,CH=x.

∵MH⊥AB,∴△HMB為等腰直角三角形，

HB=HM=x.

∵BH+HC=BC=a，

即x+x=a，

∴x=2(-)a.

∴點P到AB的距離為2(-)a.