Question

在如圖的多面體中，平面，，，，，，，是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）三棱錐的體積為.

試題分析：（1）證明四邊形為平行四邊形，進而得到，再利用直線與平面平行的判定定理得到平面；（2）過點作交于點，連接、、，先證明平面，于是得到平面，從而得到，再證明四邊形為菱形，從而得到
，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，從而得到；（3）由平面，由，得到平面，從而將三棱錐的體積的計算變換成以點為頂點，以所在平面為底面的三棱錐來計算體積.
試題解析：（1）∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，∴AD//BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．   
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．（10分）
（3）∵⊥平面,EF//AD,∴AD⊥平面,故三棱錐A-BED的高為AD
∵,∴S_△AEB ==
∴₌ S_△AEB=（14分）