Question

（2011•孝感模擬）甲、乙兩公司生產同一種新產品，經測算，對于任意x≥0，存在兩個函數f（x），g（x）．當甲公司投入x萬元用于產品的宣傳時，若乙公司投人的宣傳費用小于f（x）萬元，則乙公司有失敗的風險，否則無失敗風險；當乙公司投入x萬元用于產品的宣傳時，若甲公司投入的宣傳費用小于g（x）萬元，則甲公司有失敗的風險，否則無失敗風險．
（I）請分別解釋f（0）=17與g（0）=19的實際意義；
（Ⅱ）當f(x)=

x

3

+17，g(x)=

x

+19時，甲、乙兩公司為了避免惡性競爭，經過協商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用．問甲、乙兩公司各應投人多少宣傳費用？

Answer 1

分析：（I）根據題意當甲公司投入x萬元用于產品的宣傳時，若乙公司投人的宣傳費用小于f（x）萬元，則乙公司有失敗的風險，否則無失敗風險；當乙公司投入x萬元用于產品的宣傳時，若甲公司投入的宣傳費用小于g（x）萬元，則甲公司有失敗的風險，否則無失敗風險，可知f（0）=17與g（0）=19的實際意義；
（II）設甲公司投入宣傳費m萬元，乙公司投入宣傳費n萬元，依題意，當且僅當

n≥f(m)= 1 3 m+17     (1) m≥g(n)= n +19     (2)

成立，雙方均無失敗的風險，然后消元解法可求出n的范圍和m的范圍，求出所求．

解答：解：（I）f（0）=17表示當甲公司不進行產品宣傳時，乙公司為了保證無失敗的風險，至少要投入17萬元用于產品宣傳；g（0）=19的實際意義是當乙公司進行產品的宣傳時，甲公司為了保證無失敗的風險，至少要投入19萬元用于產品宣傳．
（Ⅱ）設甲公司投入宣傳費m萬元，乙公司投入宣傳費n萬元，
依題意，當且僅當

n≥f(m)= 1 3 m+17     (1) m≥g(n)= n +19     (2)

成立，雙方均無失敗的風險
由（1）（2）得 n≥

1

3

(

n

+19)+17⇒3n-

n

-32≥0
⇒n≥25
∴m≥

n

+19=24，
即甲、乙兩公司分別應投入24萬元和25萬元進行產品宣傳．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及函數的最值問題，屬于中檔題．