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已知函數f（x）= $數學公式$
（1）當 $數學公式$ 時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

解：（1）當-2≤a＜ $\text{[math]}$ 時，由f'（x）=0得x₁= $\text{[math]}$ ．（2分）
顯然-1≤x₁＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜x₂≤2，∴ $\text{[math]}$ ．
又f'（x）=- $\text{[math]}$
當 $\text{[math]}$ ≤x≤x₂時，f'（x）≥0，f（x）單調遞增；
當x₂＜x≤2時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）存在 $\text{[math]}$ 符合條件
因為g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³
不妨設任意不同兩點p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
則 $\text{[math]}$ （10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又 $\text{[math]}$ 故 $\text{[math]}$
故存在 $\text{[math]}$ 符合條件．（12分）
分析：（1）由f'（x）≥0，f（x）單調遞增，f'（x）＜0，f（x）單調遞減求得f（x）_max=f（x₂）
（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³不妨設任意不同兩點p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
則由斜率公式得 $\text{[math]}$ 由k≤1知：建立a＜1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）恒成立，從而求解．
點評：本題主要考查導數，一是用導數法求函數的最值，二是建立模型考查不等式恒成立，要注意討論．

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．

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已知函數f（x）=（1）當時，求f（x）的最大值；（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．