Question

【題目】某公司研發了兩種具有自主知識產權的操作系統，分別命名為“天下”、“東方”.這兩套操作系統均適用于手機、電腦、車聯網、物聯網等，且較國際同類操作系統更加流暢.

（1）為了解喜歡“天下”系統是否與性別有關，隨機調查了名男用戶和名女用戶，每位用戶對“天下”系統給出喜歡或不喜歡的評價，得到下面列聯表：

請問：能否有的把握認為男、女用戶對“天下”系統的喜歡有差異？

附：.

（2）該公司選定萬名用戶對“天下”和“東方”操作系統（以下簡稱“天下”、“東方”）進行測試，每個用戶只能從“天下”或“東方”中選擇一個使用，每經過一個月后就給用戶一次重新選擇“天下”或“東方”的機會.這個月選擇“天下”的用戶在下個月選擇“天下”的概率均為，選擇“東方”的概率均為，；這個月選擇“東方”的用戶在下個月選擇“天下”的概率均為，選擇“東方”的概率均為，.記表示第個月用戶選擇“天下”的概率，已知，，，，.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）證明：數列（）為等比數列；

（ⅲ）預測選擇“天下”操作系統的用戶數量不超過多少萬人.（精確到1萬）

Answer 1

【答案】（1）有95%的把握認為“男、女用戶對天下”系統的喜歡有差異；（2）（ⅰ），（ⅱ）見解析，（ⅲ）不超過萬人

【解析】

（1）將2×2列聯表中的數據代入到K2的公式中即可得解；（2）（ⅰ）利用題干給出的Pn+1和Pn的等量關系，列出關于α和β的方程組，即可解得α和β的值；（ⅱ）在（ⅰ）的基礎上，用定義法來判定等比數列；（ⅲ）求出用戶選擇“天下”操作系統的概率，即可求出用戶數量．

（1）由表可知，a＝10，b＝20，c＝40，d＝30，

所以，

故能有95%的把握認為男、女用戶對“天下”系統的喜歡有差異．

（2）（ⅰ）由題知：，且，，，

所以，得

所以

解得：

（ⅱ）由（ⅰ）知：

所以

又因為，所以

所以（）為首項等于，公比等于的等比數列.

（ⅲ）由（ⅱ）知：

所以（當越大時，越接近）

所以依據概率預測選擇“天下”操作系統的用戶數量不超過萬人.