Question

已知點F是雙曲線C：x²-y²=2的左焦點，直線l與雙曲線C交于A、B兩點，
（1）若直線l過點P（1，2），且

OA

+

OB

=2

OP

，求直線l的方程．
（2）若直線l過點F且與雙曲線的左右兩支分別交于A、B兩點，設

FB

=λ

FA

，當λ∈[6，+∞）時，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A、B兩點在雙曲線上，代入雙曲線方程，利用點差法，結合

OA

+

OB

=2

OP

，可求直線l的斜率，進而可求方程．
（2）根據

FB

=λ

FA

，可得坐標關系，將直線方程代入雙曲線方程，從而可得關于λ的函數，從而可求直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：設A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
（1）由A、B兩點在雙曲線上，得

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

作差：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）即

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

y1+y2

，
由

OA

+

OB

=2

OP

，知

x1+x2=2 y1+y2=4

則直線l的斜率k=

1

2

，直線l的方程為y-2=

1

2

(x-1)即x-2y+3=0
易知直線l與雙曲線有兩個交點，方程x-2y+3=0即為所求，
（2）F（-2，0），由

FB

=λ

FA

，得

x2+2=λ(x1+2) y2=λy1

設直線l：y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

．
由y₂=λy₁，y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

，消去y₁，y₂，
得

8

1-k2

=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2．
∵λ≥6，函數g(λ)=λ+

1

λ

+2在（1，+∞）上單調遞增，
∴

8

1-k2

≥6+

1

6

+2=

49

6

，∴k2≥

1

49

．
又直線l與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0兩根同號，
∴k²＜1．
∴

1

49

≤k2＜1，故k∈(-1，-

1

7

]∪[

1

7

，1)．

點評：本題以雙曲線為載體，考查直線與雙曲線的位置關系，考查點差法，關鍵是設點代入作差．