Question

【題目】已知橢圓C1： + =1，圓C2：x2+y2=t經過橢圓C1的焦點．
（1）設P為橢圓上任意一點，過點P作圓C2的切線，切點為Q，求△POQ面積的取值范圍，其中O為坐標原點；
（2）過點M（﹣1，0）的直線l與曲線C1 ， C2自上而下依次交于點A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C1： + =1的焦點坐標為（± ，0），則t=2，設P（x，y），則丨PO丨= = = ，

由x2∈[0，6]，則丨PO丨∈[2， ]，

則△POQ面積S，S= × × ∈[1， ]，

△POQ面積的取值范圍[1， ]

（2）解：設直線l的方程為：x=my﹣1；

聯立 ，消去x，整理得（2m2+3）y2﹣4my﹣10=0，

設A（x1，y1），D（x2，y2），則y1+y2=

聯立 ，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0，

設B（x3，y3），D（x3，y4），則y3+y4= ，

又丨AB丨=丨CD丨，則 = ，即y3﹣y1=y2﹣y4，

從而y1+y2=y3+y4，即 = ，解得m=0，

∴直線l的方程為x=﹣1

【解析】（1）由題意的焦點坐標，求得t的值，則丨PO丨∈[2， ]，利用三角形的面積公式，即可求得△POQ面積的取值范圍；（2）將直線l的方程，代入橢圓方程及圓的方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得m的值，求得直線直線l的方程．