Question

下列所給命題中，正確的有    （寫出所有正確命題的序號）
①任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直；
②在△ABC中，若，則∠C=30°或150°；
③關于x的二項式的展開式中常數項是24；
④命題P：?x∈R，x²+1≥1；命題：q：?x∈R，x²-x+1≤0，則命題P∧（￢q）是真命題；
⑤已知函數的定義域是，則實數a的取值范圍是．

Answer 1

【答案】分析：①利用特例判斷正誤；
②通過三角函數的平方關系式以及兩角和的正弦函數，求出C的值，判斷正誤；
③利用二項式定理展開式，求出常數項，判斷正誤即可；
④通過判斷命題的真假判斷正誤即可．
⑤通過數形結合求出a的取值范圍，判斷正誤；
解答：解：①任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直；這是不正確的．圓錐的頂角小于90°時就沒有了．
②4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3，∴16sin²A+4cos²B+16sinAcosB=1，①
4sin²B+16cos²A+16sinBcosA=27②
①+②得16+4+16sin（A+B）=28，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=，所以C=30°，故②不正確；
③解：二項展開式的通項為T_r+1=（-1）^r2^4-rC₄^rx^4-2r，令4-2r=0得r=2
所以展開式的常數項為4C₄²=24；正確．
④命題P：?x∈R，x²+1≥1；命題：q：?x∈R，x²-x+1≤0，則命題P∧（￢q）是真命題；正確．
⑤因為-x²+log_ax＞0在 x∈（0，）上恒成立，即log_ax＞x²恒成立，如圖：
當a＞1時不符合要求；
當0＜a＜1時，若y=log_ax過點（ ，），
即 =loga，所以a=，故 ≤a＜1，
綜上所述，a的范圍為：[，1），所以⑤不正確．
故答案為：③④．
點評：本題考查二項式定理，復合命題的真假，兩角和與差的正弦函數的應用，考查基本知識的靈活運用，計算能力．