Question

若對于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：對二次項系數m-2分類討論，當m-2=0時，恒成立，當m-2≠0時，轉化為二次函數恒成立問題，利用二次函數的性質，列出不等關系，求解即可得到m的取值范圍．

解答：解：∵對于任意x∈R，都有（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0恒成立，
①當m-2=0，即m=2時，不等式為-4＜0對任意x∈R恒成立，
∴m=2符合題意；
②當m-2≠0，即m≠2時，（m-2）x²-2 （m-2）x-4＜0對于任意x∈R恒成立，
∴

m-2＜0 [-2(m-2)]2-4(m-2)×(-4)＜0

，即

m＜2 -2＜m＜2

，
∴-2＜m＜2；
綜合①②，可得實數m的取值范圍是-2＜m≤2．

點評：本題考查了不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．本題解題過程中運用了二次函數的性質和分類討論的數學思想方法．對于二次函數問題特別要注意對開口方向和對稱軸以及判別式的研究．屬于中檔題．