Question

已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F作直線l與曲線C交于A、B兩點．
（ⅰ）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，證明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y軸上存在定點Q，使得無論AB怎樣運動，都有∠AQF=∠BQF？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線方程，可以很容易寫出拋物線方程．
（2）（ⅰ）先設出A，B兩點坐標和過點F在直線l方程，代入拋物線方程，消y，求x₁+x₂，x₁x₂，再利用導數找兩條切線斜率關系，看是否斜率乘積等-1，問題得證．
（ⅱ）先設在y軸上存在定點Q，坐標為（0，t），使得無論AB怎樣運動，都有∠AQF=∠BQF，則AQ，BQ傾斜角互補，斜率互為相反數，所以k_AQ+k_BQ=0，再用A，B，Q點坐標表示AQ，BQ斜率，利用（ⅰ）中x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，可求出含
t的方程，即可證出結論．

解答：解：（1）依題意有

(y-1)2+x2

=|y+2|-1，由顯然y＞-2，得

(y-1)2+x2

=|y+1|，化簡得x²=4y；
（2）（ⅰ）∵直線AB與x軸不垂直，設AB：y=kx+8．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+1 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
拋物線方程為y=

1

4

x2，求導得y′=

1

2

x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是kAM=

1

2

x1，kBM=

1

2

x2，
∴kAM•kBM=

1

2

x1×

1

2

x2=

1

4

x1x2=-1即AM⊥BM
（ⅱ）設點Q（0，t），此時kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，
由（ⅰ）可知故kAQ+kBQ=

x12 4 -t

x1

+

x22 4 -t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0對一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故當t=-1，即Q（0，-1）時，使得無論AB怎樣運動，都有∠AQP=∠BQP

點評：本題考查了拋物線方程的求法，利用導數求拋物線斜率，以及定植問題，做題時應認真分析，找到切入點．