Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若為的兩個極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在為增函數，減函數，為增函數；當時，在為增函數．（2）證明見解析．

【解析】

（1）求函數導數，分類討論函數的正負，可得函數的單調性；

（2）由（1）知，且，不等式作差得，即證對成立，進而構造函數求最值證明即可.

（1）的定義域為，，

對于函數，

①當時，即時，在恒成立．

在恒成立，在為增函數；

②當，即或時，

當時，由，得或，，

在為增函數，減函數，

為增函數，

當時，由在恒成立，

在為增函數．

綜上，當時，在為增函數，減函數，為增函數；

當時，在為增函數．

（2）由（1）知，且，

故

故只需證明，

令，故，

原不等式等價于對成立，

令，所以單調遞減，有

得證.