Question

（本大題滿分14分）
已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且所在直線的斜率之積等于．
（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為(不重合)．求證直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

(1) (1) 當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)
(2) 直線過定點(diǎn)  

試題分析：（Ⅰ）由題知： 
化簡(jiǎn)得：                  ……………………………2分
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；
……………………………6分
（Ⅱ）設(shè) 
依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，
代入整理得
，，               ………………………………9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004128464510.png" style="vertical-align:middle;" />不重合，則
的方程為 令，
得
故直線過定點(diǎn).                        ……………………………13分
解二：設(shè)
依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):
代入整理得：
,，                ……………………………9分
的方程為  令，
得
直線過定點(diǎn)                        ……………………………13分
點(diǎn)評(píng)：解決含參數(shù)的曲線方程的問題，主要是關(guān)注我們方程的特點(diǎn)來分類討論得到，同時(shí)能結(jié)合設(shè)而不求的思想求解坐標(biāo)，進(jìn)而求解直線方程，屬于中檔題。