Question

設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上．設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）1   （2）見解析    （3）存在，

解析試題分析：（1）由拋物線方程求出焦點坐標，再由中點坐標公式求得FA的中點，由中點在拋物線上求得p的值；
（2）聯立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點坐標，進一步求得Q的坐標（用含k的代數式表示），求得PQ的中點C的坐標，求出圓心到x軸的距離，求出，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號判斷圓C與x軸的位置關系；
（3）法一、假設平面內存在定點M滿足條件，設出M的坐標，結合（2）中求得的P，Q的坐標，求出向量 的坐標，由恒成立求解點M的坐標．
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標為，代入方程得，解得．
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為
由得方程，
由直線與拋物線相切，得      
且，從而，即，       
由，解得，         
∴的中點的坐標為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點．
（3）假設平面內存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，設點坐標為，
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或
所以平面上存在定點，使得圓恒過點．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題