Question

（2010•唐山二模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AA₁=4，M、N分別為CC₁、A₁C₂的中點．
（I）求證：AM⊥平面B₁MN；
（II）求二面角M-AB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（I）要證明AM⊥平面B₁MN，只需證明AM垂直平面B₁MN內兩條相交直線即可，利用平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ACC₁證明AM⊥B₁N．
再利用勾股定理證明AM⊥MN，而B₁N，MN為平面B₁MN內兩條相交直線，所以可證AM⊥平面B₁MN．
（II）要求二面角M-AB₁-A₁的大小，只需求其平面角的大小，先利用三垂線法找二面角M-AB₁-A₁的平面角，再放入直角三角形中，解三角形即可．

解答：解：（I）∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴平面A₁B₁C₁⊥平面A₁ACC₁；
∵AB=BC，進而A₁B₁=B₁C₁，
N為A₁C₁的中點，
∴B₁N⊥平面A₁ACC₁，
∵AM?平面A₁ACC₁，
∴B₁N⊥AM，即AM⊥B₁N．
在側面A₁ACC₁中，C₁M=CM=2，
C₁N=

2

，AC=2

2

，∴Rt△MC₁N∽Rt△ACM，
∴∠C₁MN+∠CMA=90°，
∴AM⊥MN．
∵B₁N∩MN=N，∴AM⊥平面B₁MN．  
（II）取BB₁的中點為D，連接MD，則MD⊥平面A₁AB₁，作DE⊥AB₁，垂足為E，連接ME，則ME⊥AB₁，∠MED為二面角M-AB₁-A₁的補角．
在Rt△ABB1中，DE=

1

2

•

AB•BB1

AB1

=

2

5

，
∴tan∠MED=

MD

DE

=

5

，
∠MED=arctan

5

，…（11分）
故二面角M-AB₁-A₁的大小為π-arctan

5

．

點評：本題考查了線面垂直的判定，以及二面角的求法，屬于立體幾何中的常規題，應當掌握．