Question

從1到9的九個數字中取三個偶數三個奇數，組成沒有重復數字的6位數？
試問：
（1）其中1在首位的有多少個？
（2）其中三個偶數字排在一起三個奇數字也排在一起的有多少個？
（3）其中任意兩偶然都不相鄰的六位數有多少個？

Answer 1

分析：（1）分三步：第一步在4個偶數中取3個，第二步除1以外的4個奇數中取2個，第三步在3個偶數，3個奇數進行排列，其中把1在首位，得到符合題意的六位數有C₄³C₄²A₅⁵=2880個．
（2）六位數中三個偶數排在一起可以把三個偶數看成一個元素進行排列，同樣把三個奇數看成一個元素進行排列，再排這相對獨立的兩個元素之間的順序，即可得到結果．
（3）任意兩個偶數都不相鄰，可先把3個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，利用分別計數原理得到結果．

解答：解：（1）分步完成：第一步在4個偶數中取3個，可有C₄³=4種情況；
第二步在除1以外的4個奇數中取2個，可有C₄²=6種情況；
第三步3個偶數，3個奇數進行排列，其中1在首位的有A₅⁵=120種情況；
所以符合題意的七位數有C₄³C₄²A₅⁵=2880個．…（3分）
（2）其中3個偶數排在一起，3個奇數也排在一起的
有C₅³A₃³C₄³A₃³A₂²=2880個．…（7分）
（3）其中偶數字都不相鄰，可先把3個奇數排好，再將3個偶數分別插入4個空檔，
共有C₅³C₄³A₃³A₄³=5760個．…（11分）

點評：本題考查排列組合及簡單計數問題，本題解題的關鍵是對于要求相鄰的元素要采用捆綁法，對于不相鄰的元素要采用插空法，本題是一個比較典型的排列組合問題．