Question

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）組成的集合：①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；②在f（x）的定義域內存在區間，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

x

是否屬于集合M？若是，則求出a，b，若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數f(x)=

x-1

+t∈M，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據單調性可判定函數f（x）是否滿足條件①，然后根據單調性求出函數f（x）在[a，b]上的值域，建立等式，求出滿足條件的a，b即可；
（Ⅱ）根據函數f(x)=

x-1

+t在[1，+∞)上為增函數，以及f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]建立等式，從而得到a，b是方程

x-1

+t=

1

2

x的兩個不同的根，且b＞a≥1，令m=

x-1

(m≥0)，可得m²-2m+1-2t=0有兩個不同的非負實根，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

在[0，+∞)上為增函數，
∴滿足條件①；
假設存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]，
則

f(a)= a = 1 2 a f(b)= b = 1 2 b

，
∴a，b是方程

x

=

1

2

x的兩個不同的非負根，
∴a=0，b=4，∴f(x)=

x

屬于M，且a=0，b=4，
∴滿足條件②；
（Ⅱ）∵f(x)=

x-1

+t在[1，+∞)上為增函數，
∴滿足條件①；
設區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]，
∴

f(a)= a-1 +t= 1 2 a f(b)= b-1 +t= 1 2 b

，
∴a，b是方程

x-1

+t=

1

2

x的兩個不同的根，且b＞a≥1，
令m=

x-1

(m≥0)∴m+t=

1

2

(m2+1)，
∴m²-2m+1-2t=0有兩個不同的非負實根，
∴

△＞0 m1+m2=＞0 m1•m2≥0

，解得0＜t≤

1

2

．

點評：本題主要考查了函數的單調性的判定和值域的求解，以及換元法的應用，同時考查了運算求解的能力和轉化的思想，屬于中檔題．