Question

設f(x)=

2x2

x+1

，g(x)=ax+5-2a(a＞0)，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、[

  5

  2

  ，4]
• B、[-

  1

  2

  ，2]
• C、[1，4]
• D、[

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：根據對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數f（X）在[0，1]上值域是g（X）在[0，1]上值域的子集，下面利用導數求函數f（x）、g（x）在[0，1]上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍

解答：解：∵f(x)=

2x2

x+1

，
∴f′（x）=

2x(x+2)

(x+1)2

，
當x∈[0，1]，f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，1]上是增函數，
∴f（x）的值域A=[0，1]；
又∵g（x）=ax+5-2a（a＞0）在[0，1]上是增函數，
∴g（X）的值域B=[5-2a，5-a]；
根據題意，有A⊆B
∴

5-2a≤0 5-a≥1 a＞0

，即

5

2

≤a≤4．
故選A．

點評：此題是個中檔題．考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，難點是題意的理解與轉化，體現了轉化的思想．同時也考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，