Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知點，過點作拋物線的切線，其切點分別為（其中）。

⑴ 求的值；

⑵ 若以點為圓心的圓與直線相切，求圓的面積。

 

Answer 1

【答案】

⑴，；⑵圓的面積為 。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），得到x₁=1-，或x₁=1+；同理可得x₂=1-，或x₂=1+，然后由x₁＜x₂知x₁=1-，x₂=1+．

（Ⅱ）由題意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，則直線MN的方程為：2x-y+1=0．再由點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，可求出圓E的面積．

解：⑴由可得，    ……1分

∵直線與曲線相切，且過點，∴，即，

即，   ……3分     ∴，  ……5分

同理可得    ……6分

∵    ∴，    ……7分

⑵由⑴知，   

      ……9分

直線方程為：， 即   ……11分

     ……13分   故圓的面積為      ……14分

考點：本試題主要考查了直線和圓錐曲線的位置關系，運用導數的思想得到切線的斜率，進而得到坐標的值，解題時要認真審題，仔細解答．

點評：解決該試題的關鍵是能運用導數的幾何意義得到切點的坐標，并能利用韋達定理，得到直線方程，點到直線的距離公式得到圓的半徑求解其面積。