Question

設P為橢圓上任意一點，O為坐標原點，F為橢圓的左焦點，點M滿足，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：先由點M滿足，得出M為FP中點，然后根據c²=a²-b²，求出c的值即可．
解答：解：令橢圓的右焦點為F₂，以OP、OF為鄰邊作平行四邊形OPAF．
由平行四邊形法則，有：=+，
而點M滿足，
∴=2，
∴M是OA的中點．
∵OPAF是平行四邊形，
∴OA、PF互相平分，又M是OA的中點，
∴M是PF的中點，
∴MF=PF．
顯然，由橢圓方程可知：原點O是橢圓的中心，
∴O是FF₂的中點．
∵M、O分別是PF、FF₂的中點，
∴OM是△PFF₂的中位線，
∴OM=PF₂．
由MF=PF、OM=OM=PF₂，
得：OM+MF=（PF+PF₂）
由橢圓定義，有：PF+PF2=2a=2×2=4，
∴OM+MF=2．
∴=OM+MF=2．
故答案為：2
點評：本題考查了橢圓的性質，得出=是解題的關鍵，屬于基礎題．