Question

如圖，四棱錐的底面為矩形，且,,,，

（Ⅰ）平面PAD與平面PAB是否垂直？并說明理由；

（Ⅱ）求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）垂直；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，由底面為矩形得，從而有⊥平面.而∥，所以⊥平面，再由線面垂直的性質得平面⊥平面；（Ⅱ）過點作延長線的垂線，垂足為，連接．然后可以證明⊥平面，從而為與底面所成的角．然后根據相關數據得到直角三角形各邊長，最后得到直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：（Ⅰ）平面⊥平面

∵ ∴

∵四棱錐的底面為矩形 ∴

∵⊂平面，⊂平面，且∩ ∴⊥平面       (4分)

∵∥  ∴⊥平面  ∵⊂平面

平面⊥平面                                                      (6分)

（Ⅱ）如圖，過點作延長線的垂線，垂足為，連接．

由（Ⅰ）可知⊥平面

∵⊂平面

∴平面⊥平面

∵⊂平面，平面⊥平面，

平面∩平面=

∴⊥平面

∴為在平面內的射影．

∴為與底面所成的角．                      (9分)

，

，在直角三角形中，

在直角三角形中，

故

在直角三角形中，，

故直線與平面所成角的正弦值.                (12分)

考點：1.線面垂直的判定與性質；2.直線與平面所成的角.