Question

在棱長都為2的側(cè)棱垂直于底面的平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．2
• C．

  5

  5

• D．

  2 5

  5

Answer 1

分析：題目是求二面角的正弦值問題，根據(jù)給出的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面為菱形這兩個條件，連接底面菱形的對角線相交于一點O，再連接B₁O后即可得到要求的二面角的平面角，然后結(jié)合題目給出的角的大小及棱的長度，在直角三角形中可求得則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成二面角的正弦值．

解答：解：如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵側(cè)棱與底面垂直，
∴B₁B⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，
∴B₁B⊥AC．
連接AC、BD，設AC∩BD=O，連接B₁O，
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵B₁B⊥AC，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥面B₁BD，
∵OB₁?面B₁BD，
∴AC⊥OB₁．
∴∠B₁OB為二面角B₁-AC-B的平面角，
即面AB₁C與底面ABCD所成的角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即為面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，
∴OB=1．
再在直角三角形OBB₁中，∵OB=1，BB₁=2，
∴OB₁=

5

．
∴sin∠B₁OB=

BB1

OB1

=

2

5

=

2 5

5

．
∴則面AB₁C與底面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值為

2 5

5

．
故選D．

點評：本題考查了空間中線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了二面角的平面角的找法，本題因給出的幾何體具有較好的對稱性，所以尋找二面角的平面角相對容易，如果二面角的平面角不易尋找時，涉及二面角的平面角問題可以借助于空間向量來處理，把二面角轉(zhuǎn)化為平面法向量所成角的問題，此題屬中檔題．