Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數有一正一負兩個極值點，求實數的范圍；

（2）當時，證明：對，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）求得函數的導函數，構造函數，結合有一正一負兩個極值點則有一正一負兩個零點列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（2）利用導數求得的最大值為；通過結合導數，對進行分類討論，求得的最小值大于零，由此證得對，.

（1）對求導，

得，

令，

因為函數有一正一負兩個極值點，

所以函數有一正一負兩個零點，

則，解得.

（2）對于，求導得，

當時，；時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以時，取得最大值，.

由（1）知，

令，

解得或.

①當時，，

則時，，單調遞增；

時，，單調遞減；

時，，單調遞增.

所以時，取得極大值，，

因為，所以.

時，取得極小值，，

因為，所以.

又當時，，，所以，

當時，，，所以

因為，所以.

②當時，恒成立，

綜上知，當時，對，.