Question

若不等式4^x-2a•2^x+3＞0對任意的x∈R均成立，則實數a的取值范圍是

a＜

3

．

Answer 1

分析：令2^x=t，轉化為t²-2at+3＞0在t∈（0，+∞）上恒成立，只需f（t）=t²-2at+3＞0在t∈（0，+∞）上恒成立．利用二次函數性質求解．

解答：解：令2^x=t，x∈R，則t∈（0，+∞），不等式4^x-2a•2^x+3＞0對任意的x∈R均成立，即為t²-2at+3＞0在t∈（0，+∞）上恒成立．設f（t）=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，
當a≤0時，f（t）＞f（0）=3＞0恒成立，符合要求．    ①
當a＞0時，f（t）min=f（a）=3-a²，由3-a²＞0，得-

3

＜a＜

3

，
∴0＜a＜

3

    ②
由①②可得a的取值范圍是a≤0或0＜a＜

3

，即a＜

3

．
故答案為：a＜

3

．

點評：本題考查了不等式恒成立，函數思想，二次函數性質，分類討論．