Question

已知函數f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）當a=1，b=2時，求曲線y=f（x）在點（2，f（x））處的切線方程；
（II）設x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，x₃是f（x）的一個零點，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．
證明：存在實數x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后的等差數列，并求x₄．

Answer 1

分析：（1）將a，b的值代入后對函數f（x）進行求導，根據導數的幾何意義即函數在某點的導數值等于該點的切線的斜率，可得答案．
（2）對函數f（x）求導，令導函數等于0解出x的值，然后根據x₃是f（x）的一個零點可得到x₃=b，然后根據等差數列的性質可得到答案．

解答：（Ⅰ）解：當a=1，b=2時，
因為f′（x）=（x-1）（3x-5）
故f′（2）=1
f（2）=0，
所以f（x）在點（2，0）處的切線方程為y=x-2；
（Ⅱ）證明：因為f′（x）=3（x-a）（x-

a+2b

3

），
由于a＜b．
故a＜

a+2b

3

．
所以f（x）的兩個極值點為x=a，x=

a+2b

3

．不妨設x₁=a，x₂=

a+2b

3

，
因為x₃≠x₁，x₃≠x₂，
且x₃是f（x）的零點，故x₃=b．
又因為

a+2b

3

-a=2（b-

a+2b

3

），
x₄=

1

2

（a+

a+2b

3

）=

2a+b

3

，
所以a，

2a+b

3

，

a+2b

3

，b依次成等差數列，
所以存在實數x₄滿足題意，且x₄=

2a+b

3

．

點評：本題主要考查函數的極值概念、導數運算法則、切線方程、導線應用、等差數列等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創新意識．