Question

（05年浙江卷理）（14分）

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求證：OD∥平面PAB；

(Ⅱ)當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；

   (Ⅲ) 當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

解析：解法一

(Ⅰ)∵O、D分別為AC、PC的中點：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中點E,連結PE,則BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,連結DF,則OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA與平面PBC所成角為arcsin

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC內的射影.

∵D是PC的中點,若F是△PBC的重心,則B、F、D三點共線,直線OB在平面PBC內的射影為直線BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,當k=1時,三棱錐O-PBC為正三棱錐,∴O在平面PBC內的射影為△PBC的重心.

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O為原點,射線OP為非負x軸,建立空間坐標系O-xyz如圖),設AB=a,則A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).設OP=h,則P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D為PC的中點,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=則PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

設PA與平面PBC所成角為θ,剛sinθ=|cos()|=.

∴PA與平面PBC所成的角為arcsin.

(Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().

∵OG⊥平面PBC,∴又∴,

∴h=,∴PA=,即k=1,反之,當k=1時,三棱錐O-PBC為正三棱錐.

∴O為平面PBC內的射影為△PBC的重心.