Question

設直線l：2x+y+2=0關于原點對稱的直線為l'，若l′與橢圓x2+

y2

4

=1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為

1

2

的點P的個數為

2

．

Answer 1

分析：先求出直線l′的方程，與橢圓方程聯立求得交點A和B的坐標，利用兩點間的距離公式求出AB的長，再根據三角形的面積求出AB邊上的高，設出P的坐標，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l′的距離即為AB邊上的高，得到關于a和b的方程，把P代入橢圓方程得到關于a與b的另一個關系式，兩者聯立利用根的判別式判斷出a與b的值有幾對即可得到交點有幾個．

解答：解：直線l關于原點對稱的直線l′為y=-2x+2，與橢圓聯立

y=-2x+2 x2+ y2 4 =1

∴

x=0 y=2

     或

x=1 y=0

 
則A（0，2），B（1，0），所以AB=

5

∵△PAB的面積為

1

2

，所以AB邊上的高為

5

5

設P的坐標為（a，b），則a2+

b2

4

=1
P到直線y=-2x+2的距離d=

|2a+b-2|

5

=

5

5

∴2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
聯立得

2a+b=3 a2+ b2 4 =1

①或

2a+b=1 a2+ b2 4 =1

②
解①得8a²-12a+5=0，因為△=144-160=-16＜0，所以方程無解；
由②得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有兩個不相等的根，則對應的b也有兩個不等的根，所以滿足題意的P的坐標有兩個．
故答案為：2

點評：考查學生會求直線與橢圓的交點坐標，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值．同時要求學生會利用根的判別式判斷方程解的情況．