Question

【題目】已知定義在[﹣ ， ]的函數f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）僅有一個零點，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（ ，2]
B.（﹣∞， ）∪[2，+∞）
C.[﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=sinx（cosx+1），
則g′（x）=（2cosx﹣1）（cosx+1），
當x∈[﹣ ，﹣ ）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
當x∈（﹣ ， ）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，
當x∈（ ， ]時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
故g（x）=sinx（cosx+1）的圖象如下圖所示：

當x=± 時，g（x）=±1，此時a= ，
當x=0時，g′（x）=2，
若y=f（x）僅有一個零點，
則函數g（x）=sinx（cosx+1）的圖象與y=ax的圖象有且僅有一個交點，
由圖可得：a∈（﹣∞， ）∪[2，+∞），
故選：B
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．