Question

考查復合函數求導的基礎知識以及導數知識的綜合應用．
已知函數f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=1處取極值，所以f'（1）=0求出a即可；
（2）求出f′（x），再進行分類討論：當a≥2時，f（x）在區間（0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，可確定f（x）的單調減區間，單調增區間從而可知，f（x）在x=

2-a a

處取得最小值，不合，故可求a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．
因f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=0，解得a=1 （經檢驗）．…（4分）
（2）f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
當a≥2時，在區間（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當0＜a＜2時，由f'（x）＞0，解得x＞

2-a a

；由f'（x）＜0，解得x＜

2-a a

．
∴f（x）的單調減區間為(0，

2-a a

)，單調增區間為(

2-a a

，+∞)．
于是，f（x）在x=

2-a a

處取得最小值f(

2-a a

)＜f(0)=1，不合．
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）
注：不檢驗不扣分．

點評：本題以函數為載體，考查學生利用導數研究函數極值的能力，考查復合函數求導的基礎知識以及導數知識的綜合應用，注意分類討論思想的運用