Question

設函數f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1．

Answer 1

分析：方法一：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，
由f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

得到關于ab的不等式，
解出不等式的解集，由解集確定ab＞1．
方法二：去絕對值號將函數變為分段函數，即f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

由函數的單調性及題設條件得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2，將其變形得到2ab=a+b≥2

ab

，解此不等式即可得到結論．

解答：證明：方法一：由師意f（a）=f（b）?|1-

1

a

|=|1-

1

b

|?（1-

1

a

）²=（1-

1

b

）²?2ab=a+b≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，故

ab

-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以變為f（x）=

1 x -1    x∈(0，1] 1- 1 x     x∈(1，+∞).

對函數進行分析知f（x）在（0，1]上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且

1

a

-1=1-

1

b

，
即

1

a

+

1

b

=2?a+b=2ab≥2

ab

故ab-

ab

≥0，即

ab

（

ab

-1）≥0，
故

ab

-1≥0，即ab＞1

點評：本題考點是絕對值不等式的解法，考查利用絕對值不等式這一工具證明不等式，二者的結合點相當隱蔽，本題需要對題設條件進行轉化證明，請注意體會這里的技巧．