Question

A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂．根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

（Ⅰ）在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁，DY₂；
（Ⅱ）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100-x萬元投資B項目，f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和．求f（x）的最小值，并指出x為何值時，f（x）取到最小值．（注：D（aX+b）=a²DX）

Answer 1

【答案】分析：（1）Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，根據兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X2的分布列，可以得到Y₁和Y₂的分布列，得到分布列，余下的問題只是運算問題，分別求出變量的方差．
（2）由題意知f（x）表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和，寫出用x表示的方差的解析式，結合二次函數的最值問題，得到結果．
解答：解：（Ⅰ）∵Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
根據兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X2的分布列
可以得到Y₁和Y₂的分布列分別為

EY₁=5×0.8+10×0.2=6，
DY₁=（5-6）²×0.8+（10-6）²×0.2=4，
EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8，
DY₂=（2-8）²×0.2+（8-8）²×0.5+（12-8）²×0.3=12．

（Ⅱ）
=
=
=，
當時，
f（x）=3為最小值．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．