Question

已知向量

m

=(

1

a

，

1

2a

)(a＞0)，將函數f(x)=

1

2

ax2-a的圖象按向量

m

平移后得到函數g（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數g（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數g(x)在[

2

，2]上的最小值為h（a），求h（a）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圖象平移的知識，根據向量平移的公式建立平移之后的圖象上點的坐標與平移之前圖象上點的坐標之間的關系是解決本題的關鍵；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中得到的函數關系式，確定該函數是二次函數類型，根據對稱軸與函數定義區間的關系，結合分類討論思想求出函數的最小值的表達式是解決本題的關鍵．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y）是函數y=f（x）圖象上的任意一點，它在函數y=g（x）圖象上的對應點P'（x'，y'），則由平移公式，得

x′=x+ 1 a y′=y- 1 2a

∴

x=x′- 1 a y=y′+ 1 2a

代入函數y=f(x)=

1

2

ax2-a中，
得y′+

1

2a

=

1

2

a(x′-

1

a

)2-a.
∴函數y=g（x）的表達式為g(x)=

1

2

a(x-

1

a

)2-a-

1

2a

.
（Ⅱ）函數g（x）的對稱軸為x=

1

a

＞0.
①當0＜

1

a

＜

2

即a＞

2

2

時，函數g（x）在[

2

，2]上為增函數，
∴h(a)=g(

2

)=-

2

；
②當

2

≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤

2

2

時，h(a)=g(

1

a

)=-a-

1

2a

.
∴h(a)=-a-

1

2a

=-(a+

1

2a

)≤-2

a• 1 2a

=-

2

當且僅當a=

2

2

時取等號；
③當

1

a

＞2即0＜a＜

1

2

時，函數g（x）在[

2

，2]上為減函數，
∴h(a)=g(2)=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

.
綜上可知，h(a)=

- 2 ，a＞ 2 2 -a- 1 2a 1 2 ≤a≤ 2 2 . a-2，0＜a＜ 1 2

∴當a=

2

2

時，函數h（a）的最大值為h(

2

2

)=-

2

.

點評：本題考查向量平移公式的運用，考查學生對函數圖象平移本質的理解，考查學生的分類討論思想，二次函數最值問題的求解，考查學生最值問題的求法．