Question

設數列的前n項和為，且滿足＝2－，＝1，2，3，…．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足＝1，且＝＋，求數列的通項公式；
（3）設，求數列的前項和為．

Answer 1

（1）＝( n∈)（2）＝ (＝1，2，3，…)
（3）8－

試題分析：（1）因為＝1時，＋＝＋＝2，所以＝1．
因為＝2－，即＋＝2，所以＋＝2．
兩式相減：－＋－＝0，即－＋＝0，故有＝．
因為≠0，所以＝( n∈)．
所以數列是首項＝1，公比為的等比數列，
所以＝( ∈)．                                           ……5分
（2）因為＝＋( n＝1，2，3，…)，所以－＝．從而有
＝1，＝，＝，…，＝( ＝2，3，…)．
將這－1個等式相加，得
－＝1＋＋＋…＋＝＝2－．(＝2，3，…)．
又因為＝1，所以＝3－( ＝2，3，…)．
經檢驗，對=1也成立，
故＝3－ = (＝1，2，3，…)．                       ……10分
（3）因為＝，
所以＝．  ①
＝．      ②
①－②，得＝－． 
故＝－＝8－－＝8－( n＝1，2，3，…)．
……15分
點評：一般解數列的解答題時會給出一個遞推關系式，此時一般情況下會再寫一個作差，寫的時候要特別注意首項是否能取到，另外錯位相減法求和是高考中常考的內容，要多加練習.