Question

已知

i

和

j

是兩個互相垂直的單位向量，

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

a

與

b

的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是

(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)

．

Answer 1

分析：若

a

與

b

的夾角為銳角，則

a

•

b

＞0，根據已知中

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，且

i

和

j

是兩個互相垂直的單位向量，我們易求出

a

•

b

的表達式，進而構造一個關于λ的不等式，解不等式并討論

a

與

b

同向時，λ的取值，即可得到答案．

解答：解：∵

i

和

j

是兩個互相垂直的單位向量
∴

i

•

i

=1，

j

•

j

=1，

i

•

j

=0
又∵

a

=

i

-2

j

，

b

=

i

+λ

j

，

a

與

b

的夾角為銳角
∴

a

•

b

=（

i

•

i

）-2λ（

j

•

j

）+（λ-2）（

i

•

j

）=1-2λ＞0
故λ＜

1

2

又∵λ=-2時，

a

與

b

同向
故實數λ的取值范圍是(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)
故答案為：(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，其中根據

a

與

b

的夾角為銳角，則

a

•

b

＞0構造一個關于λ的不等式，是解答本題的關鍵，但本題易忽略λ=-2時，

a

與

b

同向的情況，而錯解為（-∞，

1

2

）．