Question

已知A、B分別是直線y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的兩個動點，線段AB的長為2

3

，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）過點N（1，0）作與x軸不垂直的直線l，交曲線C于P、Q兩點，若在線段ON上存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出D與A，B的坐標，用中點坐標公式把點D表示出來，再代入弦長公式即可得動點D的軌跡C的方程；
（2）把直線方程與軌跡C的方程聯立求出與P、Q兩點的坐標有關的等量關系，進而求出PQ的中點坐標，再利用菱形的對角線互相垂直即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）設D(x，y)，A(x1，

3

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．
∵D是線段AB的中點，∴x=

x1+x2

2

，y=

3

3

•

x1-x2

2

．（2分）
∵|AB|=2

3

，∴(x1-x2)2+(

3

3

x1+

3

3

x2)2=12，
∴(2

3

y)2+(

3

3

×2x)2=12．
化簡得點D的軌跡C的方程為

x2

9

+y2=1．（5分）
（2）設l：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓

x2

9

+y2=1，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，∴x1+x2=

18k2

1+9k2

，∴y1+y2=

-2k

1+9k2

．（7分）
∴PQ中點H的坐標為(

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

)．
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴k_MH•k=-1，
∴

-k 1+9k2

9k2 1+9k2 -m

•k=-1，即m=

8k2

1+9k2

．（9分）
∵k≠0，∴0＜m＜

8

9

．（11分）
又點M（m，0）在線段ON上，∴0＜m＜1．
綜上，0＜m＜

8

9

．（12分）

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識．