Question

已知△ABC中，BC=2，AB=

2

AC，則三角形面積的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)AC=x，則AB=

2

x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=x

1-cos2C

，由余弦定理求得 cosC代入化簡(jiǎn) S_△ABC=

128-(x2-12)2 16

，由三角形三邊關(guān)系求得 2

2

-2＜x＜2

2

+2，
由二次函數(shù)的性質(zhì)求得S_△ABC取得最大值．

解答：解：設(shè)AC=x，則AB=

2

x，根據(jù)面積公式得S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=x•sinC=x

1-cos2C

．
由余弦定理可得 cosC=

4-x2

4x

，
∴S_△ABC=x

1-cos2C

=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

．
由三角形三邊關(guān)系有

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，解得 2

2

-2＜x＜2

2

+2，
故當(dāng) x=2

3

時(shí)，S_△ABC取得最大值2

2

，
故答案為 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時(shí)，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題．