Question

（1）若動點P到定點的距離與到定直線的距離之比為，求證：動點P的軌跡是橢圓；
（2）設（1）中橢圓短軸的上頂點為A，試找出一個以點A為直角頂點的等腰直角△ABC，并使得B、C兩點也在橢圓上，并求出△ABC的面積；
（3）對于橢圓（常數a＞1），設橢圓短軸的上頂點為A，試問：以點A為直角頂點，且B、C兩點也在橢圓上的等腰直角△ABC有幾個？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設動點P坐標，利用條件，建立等式，化簡可判斷動點P的軌跡；
（2）根據條件可知，AB，AC應是關于y軸對稱，將直線方程與橢圓方程聯立，從而可求AC長，故可求面積；
（3）與（2）同法，將直線方程與橢圓方程聯立，求AB，AC的長，利用|AB|=|AC|可判斷．
解答：解：（1）由題意，設動點P（x，y），則，化簡得，
∴動點P的軌跡是橢圓（4分）
（2）A（0，1），設AB：y=x+1，AC：y=-x+1，則△ABC是等腰直角三角形
由得，5x²+9x=0∴∴---------（10分）
（3）不妨設l_AB：y=kx+1（k＞0），
由得，（1+a²k²）x²+2ka²x=0∴
同理可得
由|AB|=|AC|得，k³-a²k²+a²k-1=0即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0∴k=1或k²+（1-a²）k+1=0
所以當時，存在三個等腰直角三角形；
當時，存在一個等腰直角三角形．-------------------------------------（16分）
點評：本題主要考查軌跡與軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．