Question

（本小題滿分14分）
如圖，三棱柱中，側面底面，,
且,O為中點.
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，
確定點的位置.

Answer 1

存在這樣的點E，E為的中點.   

（Ⅰ）證明：因為，且O為AC的中點，
所以.                                                             ………………1分
又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，    
所以平面.                                                  ………………4分
（Ⅱ）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
由題意可知，又
所以得:
則有：                                  ………………6分
設平面的一個法向量為，則有
，令，得
所以.                                      ………………7分
.                         ………………9分
因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.                                                                      ………………10分
（Ⅲ）設                                    ………………11分
即，得
所以得        ………………12分
令平面，得 ，                              ………………13分
即得
即存在這樣的點E，E為的中點.                           ………………14分