Question

設橢圓E:=1（）過點M（2，）, N（，1），為坐標原點
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

（I）橢圓E的方程為；（II）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 

試題分析：（I）將點M（2，） ，N(,1)的坐標代入橢圓的方程即得一方程組：解這個方程組得，從而得橢圓E的方程為 
（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 設該圓的切線方程為，聯立方程組，利用韋達定理及找到k與m間的關系式，再利用直線與圓相切，看看能否求出這樣的圓來，若能求出這樣的圓，則說明存在，若不能求出這樣的圓，則說明不存在
試題解析： （I）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，
所以解得所以橢圓E的方程為     4分
（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即  ，
則△=,即
,  7分
要使,需使,即,
所以,所以又,所以,
所以,即或,                  9分
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,
所求的圓為,                       11分
此時圓的切線都滿足或,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,                    12分　
綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 
13分