Question

下列命題中，真命題是（　　）

A．?x∈R，使得sinx+cosx=2

B．?x∈（0，π），有sinx＞cosx

C．?x∈R，使得x²+x=-2

D．?x∈（0，+∞），有e^x＞1+x

Answer 1

分析：利用輔助角公式，可將sinx+cosx化這正切型函數的形式，進而根據正弦函數的值域，判斷A的真假；利用正弦函數和余弦函數的圖象和性質，舉出反例，可以判斷B的真假；根據一元二次方程根的個數判定方法，可以判斷C的真假；構造函數f（x）=e^x-x-1，利用導數法，可以函數出函數的在區間（0，+∞）上的單調性，進而判斷出D的真假，得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，2∉[-

2

，

2

]，故A“?x∈R，使得sinx+cosx=2”不正確；
當x=

π

6

時，sinx＜cosx，故B“?x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正確；
∵方程x²+x=-2無解，故C“?x∈R，使得x²+x=-2”，不正確；
令f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e^x-x-1在區間（0，+∞）上為增函數，
又∵f（0）=e^x-x-1=0，∴D“?x∈（0，+∞），有e^x＞1+x”正確；
故選D

點評：本題考查的知識點是全稱命題，特稱命題，三角函數的圖象和性質，一元二次方程根的個數判定，函數恒成立問題，要判斷一個全稱命題錯誤，只要舉出一個反例即可，而要想說明一個特稱命題為真命題，只要舉出一個正例即可．