Question

【題目】設函數f（x）=（1﹣x2）ex ．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為f（x）=（1﹣x2）ex ， x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex ，
令f′（x）=0可知x=﹣1± ，
當x＜﹣1﹣ 或x＞﹣1+ 時f′（x）＜0，當﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ 時f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1+ ，+∞）上單調遞減，在（﹣1﹣ ，﹣1+ ）上單調遞增；
（Ⅱ）由題可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． 下面對a的范圍進行討論：
①當a≥1時，設函數h（x）=（1﹣x）ex ， 則h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上單調遞減，
又因為h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因為當0＜x＜1時f（x）＞（1﹣x）（1+x）2 ，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0= ∈（0，1），則（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③當a≤0時，取x0= ∈（0，1），則f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，求出極值點，利用導函數的符號，判斷函數的單調性即可．
（Ⅱ）化簡f（x）=（1﹣x）（1+x）ex ． f（x）≤ax+1，下面對a的范圍進行討論：
①當a≥1時，②當0＜a＜1時，設函數g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出結論；③當a≤0時，推出結果，然后得到a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．