Question

在平面直角坐標平面內，不難得到“對于雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點P，若點P在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則|PM|•|PN|必為定值k”、類比于此，對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P，類似的命題為：

 

．

Answer 1

分析：對于雙曲線xy=k（k＞0）上任意一點P，若點P在x軸、y軸上的射影分別為M、N，則|PM|-|PN|必為定值k，由于x軸、y軸也是雙曲線xy=k（k＞0）的漸近線，此時|PM|，|PN|分別表示P點到兩條漸近線的距離，由此我們類比，對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P，|PM|•|PN|也必為定值，代入驗證即可得到答案．

解答：解：由已知條件我們分析：
由于x軸、y軸也是雙曲線xy=k（k＞0）的漸近線，
此時|PM|，|PN|分別表示P點到兩條漸近線的距離，
由此我們類比推斷，
對于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點P，
|PM|•|PN|也必為定值，
任取雙曲線一點P（X，Y）
則|PM|•|PN|=

a2y2+b2x2

a2+b2

=

a2b2

a2+b2

故答案為：若點P在兩漸近線上的射影分別為M、N，則|PM|•|PN|必為定值

a2b2

a2+b2

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．