Question

【題目】已知函數f(x)=(x2-ax+a)e-x，a∈R

（Ⅰ）求函數f(x)的單調區間；

（Ⅱ）設g(x)=f’(x)，其中f’(x)為函數f(x)的導函數.判斷g(x)在定義域內是否為單調函數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）函數求導得f’(x)=-(x-2)(x-a)e-x，討論a和2的大小，結合導數的正負討論單調性即可；

（Ⅱ）g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x，記h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，通過二次函數的性質知函數有正有負，從而得g(x)在定義域內不為單調函數.

試題解析：

（Ⅰ）函數f(x)的定義域為{x|x∈R}. .

①當a<2時，令f’(x)<0，解得：x<a或x>2，f(x)為減函數；

令f’(x)>0，解得：a<x<2，f(x)為增函數.

②當a=2時，f’(x)=-(x-2)2e-x≤0恒成立，函數f(x)為減函數；

③當a>2時，令f’(x)<0，解得：x<2或x>a，函數f(x)為減函數；

令f’(x)>0，解得：2<x<a，函數f(x)為增函數.

綜上，

當a<2時，f(x)的單調遞減區間為(-∞,a),(2,+∞)；單調遞增區間為(a,2)；

當a=2時，f(x)的單調遞減區間為(-∞,+∞)；

當a>2時，f(x)的單調遞減區間為(-∞,2),(a,+∞)；單調遞增區間為(2,a).

（Ⅱ）g(x)在定義域內不為單調函數，以下說明：

g’(x)=f＂(x)=[x2-(a+4)x+3a+2]×e-x.

記h(x)=x2-(a+4)x+3a+2，則函數h(x)為開口向上的二次函數.

方程h(x)=0的判別式△=a2-4a+8=(a-2)2+4>0恒成立.

所以，h(x)有正有負，從而g’(x)有正有負

故g(x)在定義域內不為單調函數.