Question

是否存在實數a，使得函數y=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

在閉區間[0，

π

2

]上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式對函數解析式化簡整理，進而利用x的范圍確定cosx的范圍，根據二次函數的性質對a的范圍進行分類討論，求得函數的最大值．

解答：解：y=1-cos²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+

5a

8

-

1

2

當0≤x≤

π

2

時，0≤cosx≤1，
若

a

2

＞1，即a＞2，則當cosx=1時
y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，
∴a=

20

13

＜2（舍去）
若0≤

a

2

≤1即0≤a≤2，則當cosx=

a

2

時，
y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，
∴a=

3

2

或a=-4（舍去）．
若

a

2

＜0，即a＜0時，則當cosx=0時，
y_max=

5

8

a-

1

2

=1，
∴a=

12

5

＞0（舍去）．
綜上所述，存在a=

3

2

符合題設．

點評：本題主要考查了三角函數的求最值．考查了學生分析推理的能力，基礎知識的掌握程度．