Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且滿足.

（1）求橢圓的離心率；

（2）過作斜率為的直線交于兩點. 為坐標原點，若的面積為，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據題意畫出圖形可知，則，根據橢圓定義可知：，所以有，所以，整理得：，所以離心率；（2）由（1）得出：，所以橢圓方程為，則左焦點坐標為過的直線方程為：，聯立直線方程與橢圓方程，消去未知數，得到關于的一元二次方程，顯然，設，于是可以得出和的值（均為含的表達式），將的面積表示成，再轉化成，整理后得到關于變量的方程，解出值后，即求出橢圓的標準方程.

試題解析：（1）點橫坐標為，代入橢圓得，

解得，∴.

,∴，∴.

（2）橢圓方程化為，直線為：，聯立可得，…6分

設，則,得.

的面積為:

，

∴,∴橢圓的方程為.