Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線與圓交于、兩點(diǎn)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線和圓的極坐標(biāo)方程，并求的取值范圍；

（2）求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；；的取值范圍是（2）證明見解析；

【解析】

（1）消參可得直線的直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化可得直線和圓的極坐標(biāo)方程，根據(jù)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部可得，解不等式即可.

（2）將直線的極坐標(biāo)方程代入圓的極坐標(biāo)方程可得，由，利用韋達(dá)定理即可求解.

解（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得，

所以直線的極坐標(biāo)方程為；

將圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得，

所以圓的極坐標(biāo)方程為.

由原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，

故的取值范圍是.

（2）將代入，

得.

則，，

所以

，

故為定值.