Question

C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏東40°的位置，有一人距C為31千米的B處正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時CD間的距離為21千米，問這人還要走多少千米才能到達A城？

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：設∠ACD=α，∠CDB=β，在三角形BCD中，利用余弦定理求出cosβ的值，進而求出sinβ的值，由α=β-60°，求出sinα的值，在三角形ACD中，利用正弦定理即可求出AD的長．

解答： 解　設∠ACD=α，∠CDB=β，
在△BCD中，由余弦定理得cosβ=

BD2+CD2-CB2

2BD•CD

=

202+212-312

2×20×21

=-

1

7

，
∴sinβ=

1-cos2β

1-(- 1 7 )2

=

4 3

7

，
∴sinα=sin（β-60°）=sinβcos60°-cosβsin60°=

4 3

7

×

1

2

+

3

2

×

1

7

=

5 3

14

，
在△ACD中，由正弦定理得

21

sin60°

=

AD

sinα

，
∴AD=

21sinα

sin60°

=

21× 5 3 14

3 2

=15（千米），
答：這人還要走15千米才能到達A城．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．