Question

(本小題滿分14分)

設橢圓方程為拋物線方程為如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點

       （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

       （2）設A，B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由(不必具體求出這些點的坐標) 。

Answer 1

（1）橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）存在，有4個點，理由見解析。

解析:

對于（１）重點要抓住拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁，故先要設法求出點Ｇ及拋物線在點G的切線，再求F₁，利用同一個F₁求出b即可；對于（２）首先要注意直角三個角均有可能為直角，不要遺漏，對于為直角的情況可利用向量或斜率求解；

（1）由得，

當得，G點的坐標為，，，

過點G的切線方程為即，

令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，

即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。

關于的二次方程有一解，有兩解，即以為直角的有兩個，因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。