Question

已知定義在R上的奇函數f（x）單調遞增，若f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0對x∈（1，+∞）恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，2）

．

Answer 1

分析：根據定義在R上的奇函數f（x）單調遞增，可將f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0對x∈（1，+∞）恒成立，轉化為a＜

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

在x∈（1，+∞）恒成立，根據基本不等式求出（x-1）+

1

x-1

的最值，可得實數a的取值范圍

解答：解：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數f（x）單調遞增，
若f（x²-2x+a）+f（2-ax）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，
即f（x²-2x+a）＞-f（2-ax）=f（ax-2）
即x²-2x+a＞ax-2
即x²-2x+2＞ax-a
即a＜

x2-2x+2

x-1

=（x-1）+

1

x-1

在x∈（1，+∞）恒成立，
∵x∈（1，+∞）時，（x-1）+

1

x-1

≥2
故a＜2
故實數a的取值范圍為（-∞，2）
故答案為：（-∞，2）

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，函數恒成立問題，基本不等式，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．