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y軸上兩定點B₁（0，b）、B₂（0，-b），x軸上兩動點M，N．P為B₁M與B₂N的交點，點M，N的橫坐標分別為X_M、X_N，且始終滿足X_MX_N=a²（a＞b＞0且為常數），試求動點P的軌跡方程．

設P（x，y），M（x_m，0），N（x_n，0）（2分）
由M，P，B₁三點共線，知

y-b

x-0

0-b

xm-0

（4分）
所以xm=

b-y

（6分）
同理得xn=

b+y

（9分）x_m•x_n=

b2x2

b2-y2

=a2（10分）
故點P軌跡方程為

=1（12分）

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相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C₁的方程為

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足

•

＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：

=1(a＞0，b＞0)，直線l：y=

(x-4)關于直線l1：y=

x對稱的直線l′與x軸平行．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，求雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓

=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF₁的中點，求證：∠ATM=∠AF₁T．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在以點O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點且經過點P．
（1）建立適當的平面直角坐標系，求雙曲線C的方程；
（2）設過點D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點E、F，若△OEF的面積不小于2

，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一定點，P是圓上任意一點．線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是（　�。�

A．橢圓

B．圓

C．雙曲線

D．直線

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點O，其中一條準線方程為x=

，且與橢圓

=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的標準方程；
（2）（普通中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．
（重點中學學生做）設直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，C是直線L₁：y=mx+6上任一點（A、B、C三點不共線）試問：是否存在實數k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

【理科】已知雙曲線的中心在坐標原點O，一條準線方程為x=

，且與橢圓

=1有共同的焦點．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設直線：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點，試問：是否存在實數k，使得以弦AB為直徑的圓過點O？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓

=1(a＞b＞0)上的點P到左右兩焦點F₁，F₂的距離之和為2

，離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點F₂的直線l交橢圓于A、B兩點，若y軸上一點M(0，

)滿足|MA|=|MB|，求直線l的斜率k的值．

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