Question

已知向量

m

=(2cosx，1)，向量

n

=(cosx，

3

sin2x)，函數(shù)f(x)=

m

•

n

+

2010

1+cot2x

+

2010

1+tan2x

．
（1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求

1005(a+c)

sinA+sinC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2011，
由  2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，且 x≠kπ，x≠kπ+

π

2

，k∈z，求得減區(qū)間．
（2）由f（A）=2012，求得 A，根據(jù)△ABC的面積求出c，由余弦定理求出 a，據(jù)

1005(a+c)

sinA+sinC

=

1005a

sinA

 求值．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

m

•

n

+

2010

1+cot2x

+

2010

1+tan2x

=2cos²x+

3

sin2x+

2010

1+cot2x

+

2010

1+tan2x

 
=1+cos2x+

3

sin2x+2010=2sin（2x+

π

6

）+2011．
由  2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，且 x≠kπ，x≠kπ+

π

2

，k∈z，得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，且x≠kπ+

π

2

，
∴單調(diào)減區(qū)間為 （kπ+

π

6

，kπ+

π

2

）∪（kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

）．
（2）f（A）=2012=2sin（2A+

π

6

）+2011，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∴A=

π

3

．
又△ABC的面積為

3

2

=

1

2

 bcsinA=

1

2

•1•c•

3

2

，∴c=2．
∴a=

b2+c2-2bc•cosA

=

3

，∴

1005(a+c)

sinA+sinC

=

1005a

sinA

=

1005× 3

3 2

=2010．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，余弦定理的應(yīng)用，求單調(diào)減區(qū)間是
解題的難點(diǎn)．